初中数学公理和定理

初中数学公理和定理（北师版）

一、公理（不需证明）

1、两直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行;

2、两条平行线被第三条直线所截,同位角相等;

3、两边夹角对应相等的两个三角形全等; （SAS）

4、角及其夹边对应相等的两个三角形全等; （ASA）

5、边对应相等的两个三角形全等; （SSS）

6、等三角形的对应边相等,对应角相等.

7、线段公理：两点之间，线段最短。

8、直线公理：过两点有且只有一条直线。

9、平行公理：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行

10、垂直性质：经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直

注：（1）其中1－6要求能作为对其它定理进行证明的依据，7－10作为基本事实应了解。

（2）等式和不等式的有关性质也可视为公理。

以下对初中阶段所学的公理、定理进行分类：

一、直线与角

1、两点之间，线段最短。



2、经过两点有一条直线，并且只有一条直线。



3、同角或等角的补角相等，同角或等角的余角相等。



4、对顶角相等



二、平行与垂直



5、经过直线外或直线上一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。



6、经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。



7、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。



8、夹在两平行线间的平行线段相等



9、平行线的判定：



（1）同位角相等，两直线平行；



（2）内错角相等，两直线平行；



（3）同旁内角互补，两直线平行；



（4）垂直于同一条直线的两条的直线互相平行.



（5）如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行



（6）利用三角形中位线定理



10、平行线的性质：



（1）两直线平行，同位角相等。



（2）两直线平行，内错角相等。



（3）两直线平行，同旁内角互补。



三、角平分线、垂直平分线、图形的变化（轴对称、平称、旋转）



11、角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.



12、角平分线的判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上.



13、线段垂直平分线的性质：线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.



14、线段垂直平分线的判定：到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．



15、轴对称的性质：



（1）如果图形关于某一直线对称，那么连结对应点的线段被对称轴垂直平分.



（2）对应线段相等、对应角相等。



16、平移：经过平移，图形上的每个点都沿着相同方向移动了相同的距离，平移后，新图形和原图形的形状和大小都没有发现改变，即它们是全等图形。即对应线段平行且相等，对应角相等，对应点所连的线段平行且相等



17、旋转对称：



(1)图形中每一点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度



(2)对应点到旋转中心的距离相等；



(3)对应线段相等、对应角相等



18、中心对称：



（1）具有旋转对称的所有性质：



（2）中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分



四、三角形



（一）一般性质



19、三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°



20、三角形外角的性质：①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角；③三角形的外角和等于360°



21、三边关系：（1）两边的和大于第三边；（2）两边差小于第三边



22、三角形中位线定理： 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．



23、三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）， 这点到三个顶点的距离（外接圆半径）相等。



24、三角形的三条角平分线交于一点（内心），这点到三边的距离（内切圆半径）相等。



（二）特殊性质：



25、等腰三角形、等边三角形



（1）等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）



（2）如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）



（3）“三线合一”定理：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合



（4）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个内角都等于60°．



（5）三个角都相等的三角形是等边三角形。



（6）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形



26、直角三角形：



（1）直角三角形的两个锐角互余；



（2）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；



（3）勾股定理逆定理：如果一个三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形.



（4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.



（5）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半.



(6)三角形一边的中线等于这边的一半，这个三角形是直角三角形。



五、四边形



27、多边形中的有关公理、定理：



⑴四边形的内角和为360°



⑵多边形的内角和定理：n边形的内角和等于（ n－2）×180°.



⑶多边形的外角和定理：任意多边形的外角和都为360°.



28、平行四边形的性质：



（1）平行四边形的对边平行且相等；



（2）平行四边形的对角相等；



（3）平行四边形的对角线互相平分.



29、平行四边形的判定:



（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形；



（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；



（3）两组对边分别相等的四边形是平行四边形；



（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形；



（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形.



30、矩形的性质：



（1）具有平行四边形的所有性质



（2）矩形的四个角都是直角；



（3）矩形的对角线相等且互相平分.



31、矩形的判定：



（1）有一个角是直角的平行四边形是矩形。



（2）有三个角是直角的四边形是矩形.



（3）对角线相等的平行四边形是矩形。



32、菱形的性质：



（1）具有平行四边形的所有性质



（2）菱形的四条边都相等；



（3）菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角.



33、菱形的判定：



（1）四条边相等的四边形是菱形.



（2）一组邻边相等的平行四边形是菱形。



（3）对角线互相垂直的平行四边形是菱形。



34、正方形的性质：



（1）具有矩形、菱形的所有性质



（2）正方形的四个角都是直角；



（3）正方形的四条边都相等；



（4）正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角.



35、正方形的判定：（证明既是矩形又是菱形）



⑴有一个角是直角的菱形是正方形；



⑵有一组邻边相等的矩形是正方形.



⑶对角线相等的菱形是正方形



⑷对角线互相垂直的矩形是正方形



36、等腰梯形的判定：



（1）同一条底边上的两个内角相等的梯形是等腰梯形；



（2）两条对角线相等的梯形是等腰梯形.



37、等腰梯形的性质：



（1）等腰梯形的同一条底边上的两个内角相等；



（2）等腰梯形的两条对角线相等.



38、* 梯形的中位线平行于梯形的两底边，并且等于两底和的一半.(课本没有)



四、相似形与全等形



39、全等多边形的对应边、对应角分别相等.



40、全等三角形的判定：



（1）如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等（SSS.）.



（2）如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．（SAS.）



（3）如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等(ASA).



（4）有两个角及其中一个角的对边分别对应相等的两个三角形全等（AAS.）



（5）如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.（H.L.）



41、相似三角形的性质：对应边、周长、对应线段的比均等于相似比，面积比等于相似比的平方



42、相似三角形的判定：



（1）如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似；



（2）如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似；



（3）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.



43、相似多边形的性质：同相似三角形



44、相似多边形的判定：对应边成比例且对应角相等



五、圆



45、（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。



（2）圆是中心对称图形，对称中心是圆心。



46、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。



47、垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。



注：垂径定理及推论：如果一条直线具有过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的劣弧（优弧）中的两个性质就具有其余性质。



48、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。



49、同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．



50、圆周角定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半



（1）半圆或直径所对的圆周角都相等，都等于90°（直角）；



（2）90°的圆周角所对的弦是圆的直径.



(3)在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，圆周角相等则所对的弧相等；



51、不在同一条直线上的三个点确定一个圆.



52、切线的判定（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.



53、切线的性质（2）圆的切线垂直于过切点的直径。



以下命题，要熟悉其内容，如在填空、选择出现可直接使用，但在解答题中如有需要确实要用，应在结论后加括号注明定理内容（中考一般不会遇到）或进行证明：



从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
2、平行于三角形的一边的直线和其他两边相交所构成的三角形与原三角形相似。

3、垂直与同一直线的两直线互相平行

4、直角三角形斜边上高分成的两直角三角形与原三角形相似，并且有以下关系：

（1）AC2=AD·AB （2）BC2=BD·AB （3）CD2=AD·BD

5、（1）如图（1）有：AE·BE=CE·DE

（2）如图（2），AB是直径，CD⊥AB ,则：CD2=AD·BD

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