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一元二次方程的题:
设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值。

解法:

设方程x^2-px+q=0的根为a,b,方程x^2-qx+p=0的根为c,d
所以由韦达定理得a+b=p , ab=q , c+d=q , cd=p
所以a+b=cd  (1)   ;   ab=c+d   (2)
当a,b,c,d都大于等于2,不难证出a+b<=ab;c+d<=cd,代入所以(1)(2)得ab<=cd  cd<=ab  所以ab=cd 所以a+b=ab;c+d=cd,所以a=b=c=d=2,所以p=q=4

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Tags: 数学

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