[竞赛]设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值

一元二次方程的题：
设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值。

解法：

设方程x^2-px+q=0的根为a,b,方程x^2-qx+p=0的根为c,d
所以由韦达定理得a+b=p ， ab=q ， c+d=q ， cd=p
所以a+b=cd  (1)   ;   ab=c+d   (2)
当a,b,c,d都大于等于2，不难证出a+b<=ab;c+d<=cd，代入所以(1)(2)得ab<=cd  cd<=ab  所以ab=cd 所以a+b=ab;c+d=cd，所以a=b=c=d=2，所以p=q=4

当a,b,c,d都大于等于2不成立时，不妨设其中一个小于2，比如设a=1，代入(1)(2)得则1+c+d=cd，所以c=(1+d)/(d-1)=1+2/(d-1)，所以d=2;c=3;b=5或d=3;c=2;b=5，所以p=6;q=5
所以 p=q=4 或 p=6;q=5 或 p=5;q=6

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