三角形相关问题(1)

竞赛题
问题：三角形ABC的三边长a,b,c 满足：a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数，a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值？
解：2b＝a+c，
则4b^2=a^2+2ac+c^2，2ac=4b^2-a^2-c^2；
∵a>0，c>0，由均值不等式，a^2+c^2≥2ac，即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2，
化简得a^2+c^2≥2b^2；
∵a^2+b^2+c^2=84，∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2，
解得b^2≤28；
∵b是正整数，∴b可能的取值为5，4，3，2，1；
若b=3，则c<3，a<b+c<6，
则a^2+b^2+c^2<6^2+3^2+3^2=54<84；
所以b=3不成立。
同理，b<3也不成立。
∴b>3，即b可能的取值为4或5；
若b=4，则a+c=2b=8，a^2+16+c^2=84；
联立以上两式得c=(8+根号72)/2 >4
也即c>b，因为a>b>c ∴b≠4；
∴b=5.

上题来源：2009年10月28日 星期三 晚自习 学生提问。

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