三等分角的问题

三等分角问题（trisection of an angle）是二千四百年前，古希腊人提出的几何三大作图问题之一，即：用圆规与直尺把一任意角三等分。问题的难处在于作图使用工具的限制。古希腊人要求几何作图只许使用直尺（没有刻度，只能作直线的尺）和圆规。这问题曾吸引着许多人去研究，但都无一成功。１８３７年凡齐尔（ １８１４－１８４８）运用代数方法证明了，这是一个标尺作图的不可能问题。

在研究「三等分角」的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆锥曲线等特殊曲线。人们还发现，只要放弃「尺规作图」的戒律，三等分角并不是一个很难的问题。古希腊数学家阿基米德（前２８７－前２１２）发现只要在直尺上固定一点，问题就可解决了。现简介其法如下：

　　在直尺边缘上添加一点Ｐ，命尺端为Ｏ。设所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ为圆心，ＯＰ为半径作半圆交角边于Ａ，Ｂ；使Ｏ点在ＣＡ延线上移动，Ｐ点在圆周上移动，当尺通过Ｂ时，联ＯＰＢ（见图）。由于ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣ Ｂ／３。这里使用的工具已不限于标尺，而且作图方法也与公设不合。

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