三角形相关问题(1)

竞赛题
问题：三角形ABC的三边长a,b,c 满足：a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数，a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值？
解：2b＝a+c，
则4b^2=a^2+2ac+c^2，2ac=4b^2-a^2-c^2；
∵a>0，c>0，由均值不等式，a^2+c^2≥2ac，即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2，
化简得a^2+c^2≥2b^2；
∵a^2+b^2+c^2=84，∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2，

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Tags: 数学