[竞赛]设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值
作者:随然 日期:2015-09-07
一元二次方程的题：
设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值。
解法：
设方程x^2-px+q=0的根为a,b,方程x^2-qx+p=0的根为c,d
所以由韦达定理得a+b=p ， ab=q ， c+d=q ， cd=p
所以a+b=cd (1) ; ab=c+d (2)
当a,b,c,d都大于等于2，不难证出a+b<=ab;c+d<=cd，代入所以(1)(2)得ab<=cd cd<=ab 所以ab=cd 所以a+b=ab;c+d=cd，所以a=b=c=d=2，所以p=q=4
设方程x^2-px+q=0,x^2-qx+p=0的根都是正整数,试求正整数p,q的值。
解法：
设方程x^2-px+q=0的根为a,b,方程x^2-qx+p=0的根为c,d
所以由韦达定理得a+b=p ， ab=q ， c+d=q ， cd=p
所以a+b=cd (1) ; ab=c+d (2)
当a,b,c,d都大于等于2，不难证出a+b<=ab;c+d<=cd，代入所以(1)(2)得ab<=cd cd<=ab 所以ab=cd 所以a+b=ab;c+d=cd，所以a=b=c=d=2，所以p=q=4
