题目：P是⊙O外一点，PA切⊙O于A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于D，求证：PB:BD=PC:CD  （2002年四川省初中数学竞赛第四题）

思路： 因所证比例线段不是对应边，故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明．连结OA 、OB、 OC， 由射影定理得PA²=PD·PO 由切割线定理得 PA²=PB·PC，所以PD·PO=PB·PC 所以B、C、O、D共圆，就得多对相似三角形，以此达到证明的目的． 

△PCD~△POB 则 PC:CD=PO:OB

△PBD~△POC 则  PB:BD=PO:OC

因为OB=OC  所以 PB:BD=PC:CD

 

 

 
 
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设A，B，C三点在同一个直线上

假设过A，B，C三点可以作圆，设圆心为O

那么，OA=OB=OC

由OA=OB知点O在AB的垂直平分线上，由OB=OC知点O在BC的垂直平分线上

说明过点O有两条直线和已知直线AC垂直

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    首先作一个锐角△ABC，使得角B是一个接近直角的锐角（即使得角B略小于90度，这样可以等会儿得到反例是一个凸四边形），然后以点A为圆心，AB长度为半径作圆弧，使圆弧与BC交于D点（由于角B是锐角，所以这种作法总是可以实现的）。好了，现在我们作△BAE≌△ADC，那么在四边形AEBC中，易证BE＝AC，角C＝角E，所以它满足一组对角相等一组对边相等，但是AE<BC，它显然不是平行四边形。

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外径：外部圆的直径。
内径：内部圆的直径。
比如在某些应用题中谈到钢管的外径和内径，钢管可看作两个同心圆，钢管的外径就是大圆的直径，内径就是里面小圆的直径。

母线：
圆锥的母线：1、连结圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段。
            2、一个直角三角形ABC绕其一条直角边AC旋转一周，形成一个圆锥，斜边AB在旋转中的每一位值叫圆锥的母线。所有母线构成圆锥的侧面(曲面)。
圆柱的母线：1、圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段。
            2、一个矩形ABCD绕其一边AD旋转一周，形成一个圆柱，AD的对边BC在旋转中的每一个位置叫圆柱的母线。
圆台的母线：一个直角梯形饶直角腰旋转一周，形成一个圆台，另一腰在旋转中的每一个位置叫圆台的母线。

圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台。
圆台的任意两条母线都相交，或者说圆台的任意两条母线的延长线都相交，因为圆台只是大圆锥上去掉小圆锥，母线都交于圆锥的顶点的。

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题目：设x、y都是正整数，且使根号(x-116)+根号(x+100)=y，则y 的最大值是多少？
解答：
设 x-116=a^2 ， x+100=b^2     (b>a)
则 b^2-a^2=(x+100)-(x-116)=216
所以 (b-a)(b+a)=216
所以 b-a取最小值时b+a为最大值
因为x，y为正整数，所以b^2，a^2为正整数，a，b为正整数

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竞赛题
问题：三角形ABC的三边长a,b,c 满足：a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数，a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值？
解：2b＝a+c，
则4b^2=a^2+2ac+c^2，2ac=4b^2-a^2-c^2；
∵a>0，c>0，由均值不等式，a^2+c^2≥2ac，即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2，
化简得a^2+c^2≥2b^2；
∵a^2+b^2+c^2=84，∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2，

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      初中数学容易弄错的一些数学知识中，就有翻一番、翻两番。其实翻一番很好理解，但翻两番就容易弄错了。其实，我觉得这个概念四川人最容易理解。打麻将和斗地主中就经常用到类似的词语。比如斗地主你们打10元，一个炸弹翻一番，也就20元，再来一个炸弹是不是你赢的钱又翻倍了？你就赢40元。这就是翻两番。

归纳知识点：
      翻一番就是在原来的基础上乘2。翻两番就是在原来的基础上乘2，再乘2（即2的2次方）。翻N番就是在原来的基础上乘以2的N次方。

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大家先看下面这个动画，注意面积的变换过程。


变形前面积为8×8=64，变形后面积计算就成了5×13=65
当然，大家都知道64=65肯定是错误的，也就是说变形前和变形后的面积是不相等的。
问题出在哪里呢？其实问题就出在变形后的图形的拼接方式，给人一种拼接得很完美的错觉。

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