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题目:已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,过E点作EF⊥BD交BC于F,连接DF,G为DF中点,连接EG,CG.
(1)求证:EG=CG;
(2)将图①中△BEF绕B点逆时针旋转45º,如图②所示,取DF中点G,连接EG,CG.问(1)中的结论是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
(3)将图①中△BEF绕B点旋转任意角度,如图③所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?通过观察你还能得出什么结论?(均不要求证明)

证明:(1)易证GC=DF/2=GE
[直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半]∠CGE=2∠GDC+2∠GDE=2∠EDC=90°
(2)连结GA,易证GA=GC,过G作GHAB于H,易证AH=EH,GA=GE
[等腰三角形三线合一定理逆定理],下略
(3)略证:

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题目:P是⊙O外一点,PA切⊙O于A,PBC是⊙O的割线,AD⊥PO于D,求证:PB:BD=PC:CD  (2002年四川省初中数学竞赛第四题


思路:
因所证比例线段不是对应边,故不能通过判定△PBD与△PCD相似证明.连结OA OB OC 由射影定理得PA2=PD·PO 由切割线定理得 PA2=PB·PC,所以PD·PO=PB·PC 所以BCOD共圆,就得多对相似三角形,以此达到证明的目的. 

PCD~POB PC:CD=PO:OB

PBD~POC   PB:BD=PO:OC

因为OB=OC  所以 PB:BD=PC:CD

 

 

 
 
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设A,B,C三点在同一个直线上

假设过A,B,C三点可以作圆,设圆心为O

那么,OA=OB=OC

由OA=OB知点O在AB的垂直平分线上,由OB=OC知点O在BC的垂直平分线上

说明过点O有两条直线和已知直线AC垂直

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    首先作一个锐角△ABC,使得角B是一个接近直角的锐角(即使得角B略小于90度,这样可以等会儿得到反例是一个凸四边形),然后以点A为圆心,AB长度为半径作圆弧,使圆弧与BC交于D点(由于角B是锐角,所以这种作法总是可以实现的)。好了,现在我们作△BAE≌△ADC,那么在四边形AEBC中,易证BE=AC,角C=角E,所以它满足一组对角相等一组对边相等,但是AE<BC,它显然不是平行四边形。

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数学概念备忘录(外径、内径、母线)

外径:外部圆的直径。
内径:内部圆的直径。
比如在某些应用题中谈到钢管的外径和内径,钢管可看作两个同心圆,钢管的外径就是大圆的直径,内径就是里面小圆的直径。

母线:
圆锥的母线:1、连结圆锥的顶点和底面圆周上任意一点的线段。
            2、一个直角三角形ABC绕其一条直角边AC旋转一周,形成一个圆锥,斜边AB在旋转中的每一位值叫圆锥的母线。所有母线构成圆锥的侧面(曲面)。
圆柱的母线:1、圆柱的母线就是圆柱侧面上同时垂直于两底面的直线段。
            2、一个矩形ABCD绕其一边AD旋转一周,形成一个圆柱,AD的对边BC在旋转中的每一个位置叫圆柱的母线。
圆台的母线:一个直角梯形饶直角腰旋转一周,形成一个圆台,另一腰在旋转中的每一个位置叫圆台的母线。

圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台。
圆台的任意两条母线都相交,或者说圆台的任意两条母线的延长线都相交,因为圆台只是大圆锥上去掉小圆锥,母线都交于圆锥的顶点的。

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题目:设x、y都是正整数,且使根号(x-116)+根号(x+100)=y,则y 的最大值是多少?
解答:
设 x-116=a^2 , x+100=b^2     (b>a)
则 b^2-a^2=(x+100)-(x-116)=216
所以 (b-a)(b+a)=216
所以 b-a取最小值时b+a为最大值
因为x,y为正整数,所以b^2,a^2为正整数,a,b为正整数

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三角形相关问题(1)

竞赛题
问题:三角形ABC的三边长a,b,c 满足:a>b>c,  a+c=2b,  b是正整数,a^2+b^2+c^2=84. 试求正整数b的值?
解:2b=a+c,
则4b^2=a^2+2ac+c^2,2ac=4b^2-a^2-c^2;
∵a>0,c>0,由均值不等式,a^2+c^2≥2ac,即a^2+c^2≥4b^2-a^2-c^2,
化简得a^2+c^2≥2b^2;
∵a^2+b^2+c^2=84,∴84=a^2+b^2+c^2≥2b^2+b^2=3b^2,

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翻一番,翻两番是什么意思?

      初中数学容易弄错的一些数学知识中,就有翻一番、翻两番。其实翻一番很好理解,但翻两番就容易弄错了。其实,我觉得这个概念四川人最容易理解。打麻将和斗地主中就经常用到类似的词语。比如斗地主你们打10元,一个炸弹翻一番,也就20元,再来一个炸弹是不是你赢的钱又翻倍了?你就赢40元。这就是翻两番。

归纳知识点:
      翻一番就是在原来的基础上乘2。翻两番就是在原来的基础上乘2,再乘2(即2的2次方)。翻N番就是在原来的基础上乘以2的N次方。

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